线性代数示例

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

解题步骤 1

该转换定义了从 $ℝ^{3}$ 到 $ℝ^{2}$ 的映射。若要证明该转换是线性转换，必须证明该转换满足标量乘法、加法和零向量。

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

解题步骤 2

首先证明变换将保留此性质。

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

解题步骤 3

建立两个矩阵以验证加法性质仍然存在于 $T$ 。

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

解题步骤 4

将两个矩阵相加。

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 5

对矢量进行转换。

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

解题步骤 6

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 6.1

重新排列 $2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ 。

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

解题步骤 6.2

重新排列 $- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ 。

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

解题步骤 7

通过变量分组，将结果分解为两个矩阵。

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

解题步骤 8

变换的加法性质有效。

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

解题步骤 9

为保证变换为线性变换，必须支持标量乘法。

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

解题步骤 10

从每一元素对 $p$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

将 $p$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

解题步骤 10.2

对矢量进行转换。

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

解题步骤 10.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 10.3.1

重新排列 $2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ 。

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

解题步骤 10.3.2

重新排列 $- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ 。

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

解题步骤 10.4

对矩阵的每一个元素进行因式分解。

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解题步骤 10.4.1

通过乘以 $2 a p - 2 b p + 10 d p$ 对元素 $0, 0$ 进行因式分解。

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

解题步骤 10.4.2

通过乘以 $- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ 对元素 $1, 0$ 进行因式分解。

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

解题步骤 11

线性转换的第二性质已保留在此转换中。

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

解题步骤 12

为保证变换为线性变换，必须保留零向量。

$T (0) = 0$

解题步骤 13

对矢量进行转换。

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 14

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 14.1

重新排列 $2 (0) - (0) + 5 (0)$ 。

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 14.2

重新排列 $- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ 。

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 15

零向量在该转换中得到保持。

$T (0) = 0$

解题步骤 16

因为不满足线性变换的所有三个性质，所以此变换不是线性变换。

线性变换

线性代数 示例

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